Так как прямая АВ касается окружности, то треугольник ОАВ прямоугольный. Поэтому по теореме Пифагора:
АВ^2 = АО^2 + ВО^2
АВ^2 = 41^2 + 9^2
АВ^2 = 1681 + 81
АВ^2 = 1762
АВ = √1762 ≈ 42,01 см

Угол между касательными и радиусом окружности равен 90°. Так как у нас дан угол 60°, то угол, образованный радиусом и одной из касательных равен 30°. Поэтому получаем прямоугольный треугольник, в котором радиус равен катету. Применив теорему синусов, получаем:
sin 30° = Радиус / ОА
0,5 = Радиус / 16
Радиус = 0,5 * 16 = 8 см

Рассмотрим треугольник ОАС, где ОА = 4√3 см, ОС = 6 см и возьмем угол θ между касательными. Используя теорему косинусов, получим:
(ОА)^2 + (ОС)^2 - 2 ОАОСcosθ = (АС)^2
(4√3)^2 + 6^2 - 2 4√3 6 cosθ = (АС)^2
48 + 36 - 48cosθ = (АС)^2
84 - 48cosθ = (АС)^2

Также, используя свойства треугольника, можем выразить АС через ОС:
АС = ОА + ОС = 4√3 + 6

Подставляя это значение АС в уравнение, получаем:
84 - 48cosθ = (4√3 + 6)^2
84 - 48cosθ = 48 + 48√3 + 36
48√3 - 48cosθ = 4√3
cosθ = √3/2
θ = 30°

Итак, угол между двумя касательными равен 30°.

Поскольку ВА является радиусом окружности, а VA - диагональ прямоугольника, центром который является А, угол между касательной в точке В и ВА равен 90°. Следовательно, прямая ВС касается окружности в точке В.

Пусть расстояние от точки до конца диаметра равно b и c (b > c). Тогда радиус окружности равен (b+c)/2. Поэтому:
(b+c)/2 = 9
b+c = 18

(b-c)/2 = 12
b-c = 24

Решая эту систему уравнений, получаем c = 3 см и b = 15 см. Таким образом, радиус окружности равен (15+3)/2 = 9 см.