Поскольку угол ABC равен 45 градусов, а угол C равен 90 градусов, то угол B равен 45 градусов.

Теперь можем рассмотреть прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора:

AB^2 + BC^2 = AC^2,
AB^2 + CD^2 = AC^2.

Так как угол ABC равен 45 градусов, то стороны AB и BC равны между собой (так как углы при них равны), значит AB = BC. Подставим это в первое уравнение:

AB^2 + AB^2 = AC^2,
2AB^2 = AC^2,
AB^2 = AC^2 / 2,
AB = √(AC^2 / 2),
AB = √(12^2 / 2),
AB = √(144 / 2),
AB = √72,
AB = 6√2.

Таким образом, длина стороны AB равна 6√2 см.

Чтобы найти высоту CD, можно воспользоваться тем, что в прямоугольном треугольнике высота проведена к гипотенузе делит треугольник на два подтреугольника, подобные исходному треугольнику. Значит, CD является высотой и треугольников ABC и CDB. Поэтому CD является катетом прямоугольного треугольника CDB, а гипотенуза CB является гипотенузой треугольника CDB. Треугольник CDB также является прямоугольным.

Из подобия треугольников ABC и CDB следует, что соответствующие катеты имеют одинаковые отношения к гипотенузе:

AB / AC = CD / CB.

Подставим известные значения:

6√2 / 12 = CD / 6√2,
0.5 = CD / 6√2,
CD = 0.5 * 6√2,
CD = 3√2.

Таким образом, длина высоты CD равна 3√2 см.