Дано, что хорда отсекает четверть окружности основания, значит угол, между хордой и радиусом окружности, равен 90°.

Таким образом, у нас получается, что угол между образующей и основанием конуса составляет 45°.

Обозначим радиус основания конуса как R. Тогда, по условию задачи, получаем, что периметр основания равен 6√2 см.

Известно, что периметр окружности равен 2πR. Периметр основания конуса в данном случае равен четверти периметра окружности:

2πR = 4 * 6√2
πR = 24√2
R = 24√2 / π

Образующая конуса равна √(h^2 + R^2), где h - высота конуса.

Так как угол между образующей и основанием конуса равен 45°, то tg(45°) = h/R, откуда h = R.

Теперь можем найти высоту конуса:

h = 24√2 / π

Теперь можем найти объем конуса:

V = (1/3) π R^2 h
V = (1/3) π (24√2 / π)^2 (24√2 / π)
V = (1/3) π (24^2 2) / (π^2) 24^2 / π
V = (1/3) 24^3 2 / π
V = 18432 / π

Ответ: объем конуса равен 18432 / π куб. см.