Пусть длина катета меньшего треугольника равна а, а гипотенуза равна b. Тогда площадь этого треугольника равна (а*b)/2, периметр равен а+а+b = 12 см.

Площадь треугольника с большими сторонами равна (2а)(2а)/2 = 2а^2, периметр треугольника с большими сторонами равен 2а+2а+2a√2 = 4а+2a*√2.

Таким образом, получаем уравнение:

2а^2 / (a+2a√2+2a) = 4/9

2а^2 / (4a(1+√2)) = 4/9

9a^2 = 4*4a(1+√2)

9a = 16(1+√2)

a = 16(1+√2)/9 ≈ 5,57 см

Теперь найдем длину катета другого треугольника.
Так как площади подобных прямоугольных треугольников относятся как 4:9, длина катета другого треугольника равна √9/√4 * 5,57 ≈ 7,15 см.

Итак, длина катета другого треугольника равна примерно 7,15 см.