Периметр треугольника равен сумме длин его сторон. По формуле периметра P = a + b + c, где a, b, c - длины сторон треугольника, имеем:

12 = a + b + c

Так как радиус вписанного круга равен 4 см, то каждая из сторон треугольника равна радиусу умноженному на тангенс половины соответствующего угла треугольника (a = 4tg(A/2), b = 4tg(B/2), c = 4*tg(C/2)).

Из теоремы тангенсов известно, что сумма тангенсов углов треугольника равна их произведению: tg(A/2) + tg(B/2) + tg(C/2) = tg(A/2)tg(B/2)tg(C/2).

Получаем tg(A/2) + tg(B/2) + tg(C/2) = (tg(A/2)tg(B/2)tg(C/2)) = 3, так как tg(A/2) = tg(B/2) = tg(C/2) = 1.

Если радиус вписаного круга 4 см, то можно записать, что: r = S/p, где r - радиус вписанной окружности, S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника. Так как периметр равен 12, то p = 6. Подставляя значения, получаем:

4 = S/6

S = 24

Итак, площадь треугольника равна 24 квадратных сантиметров.