Для решения задачи можно воспользоваться теоремой косинусов. Обозначим меньшее основание трапеции за (x).

Так как угол между основанием и боковой стороной равен 60 градусам, мы можем разделить боковую сторону треугольника на две части, соответственно равные (x) и (x). Теперь мы можем найти длину высоты, опущенной из вершины на большее основание (a).

[\frac{a}{2} = \frac{4}{\sin{60}}]

[a = 4\sqrt{3}]

Теперь можем составить уравнение с использованием теоремы косинусов для равнобедренного треугольника:

[x^2 = a^2 - \left(\frac{12 - x}{2}\right)^2]

[x^2 = (4\sqrt{3})^2 - \left(\frac{12 - x}{2}\right)^2]

[x^2 = 48 - \left(\frac{12 - x}{2}\right)^2]

[x^2 = 48 - 36 + 6x - x^2]

[2x^2 - 6x - 12 = 0]

[x^2 - 3x - 6 = 0]

Далее решаем это квадратное уравнение:

[x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{3^2 + 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2}]

[x_1 = \frac{3 + \sqrt{33}}{2}, x_2 = \frac{3 - \sqrt{33}}{2}]

Получается, что длина меньшего основания может быть либо (\frac{3 + \sqrt{33}}{2}) см, либо (\frac{3 - \sqrt{33}}{2}) см.