В треугольнике ABC на стороне BC взята точка M таким образом, что расстояние от вершины B до центра тяжести треугольника AMC равно расстоянию от вершины C до центра тяжести треугольника AMB. Докажите, что BM=DC, где D - основание высоты, опущенной на BC из вершины A.
В треугольнике ABC на стороне BC взята точка M таким образом, что расстояние от вершины B до центра тяжести треугольника AMC равно расстоянию от вершины C до центра тяжести треугольника AMB. Докажите, что BM=DC, где D - основание высоты, опущенной на BC из вершины A.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для начала обозначим центры тяжести треугольников AMC и AMB через G1 и G2 соответственно. По условию задачи, точка M такова, что BG1=CG2.
Опустим высоту AD на сторону BC, и пусть она пересекает BC в точке D. Так как AG1 - медиана треугольника AMC, то точка G1 делит медиану AG1 в отношении 2:1. То есть AG1:G1M=2:1. Точно так же AG2:G2M=2:1.
Так как треугольники AG1D и AG2D подобны и AG1:AG2=2:1, то AD делит сторону BC в отношении 2:1. То есть BD=2DC.
Поскольку BG1=CG2 и G1 и G2 делят сторону AM в отношении 2:1, то точка M делит сторону BC так, что BM=MC.
Таким образом, из подобия треугольников AMB и CDM следует, что BM/MD=MC/CD=AM/CM=2, то есть BM=2MD. Но мы ранее показали, что BD=2DC
Отсюда получаем, что BM=DC.