Для начала найдем катеты прямоугольного треугольника, лежащего в основании пирамиды. Из условия известно, что гипотенуза равна 12 см, а один из острых углов равен 30 градусам. Тогда, применяя тригонометрические функции, находим катеты:

(a = 12 \cdot \cos(30) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \, \text{см})

(b = 12 \cdot \sin(30) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \, \text{см})

Теперь вычислим высоту пирамиды. Так как угол наклона боковой грани к основанию равен 45 градусам, и грани пирамиды равнобедренные, то треугольник, образованный боковой гранью, высотой и радиус-вектором вершины пирамиды, будет равнобедренным. Тогда:

(h = a \cdot \tan(45) = a = 6\sqrt{3} \, \text{см})

Итак, боковая поверхность пирамиды равна:

(S = \frac{1}{2} \cdot p \cdot l),

где (p) — периметр основания, (l) — высота боковой грани.

Поскольку основание — прямоугольный треугольник, то (p = a + b + c), где (c) — гипотенуза треугольника, равная 12 см.

(p = 6\sqrt{3} + 6 + 12 = 18 + 6\sqrt{3} \, \text{см})

Также, (l = \sqrt{a^2 + h^2}),

(l = \sqrt{(6\sqrt{3})^2 + (6\sqrt{3})^2} = \sqrt{108 + 108} = \sqrt{216}\, \text{см})

(S = \frac{1}{2} \cdot (18 + 6\sqrt{3}) \cdot \sqrt{216} = \frac{1}{2} \cdot 6(3 + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3^3 \cdot 2} = 162 + 54\sqrt{3} \, \text{см}^2)

Таким образом, боковая поверхность пирамиды равна (162 + 54\sqrt{3}) квадратных сантиметров.