Для начала найдем длину диагонали прямоугольной трапеции. Обозначим верхнее основание трапеции за a, нижнее основание за b, а боковое ребро за c. Так как трапеция равнобедренная, то a = b. Пусть h - высота трапеции. Тогда:

h^2 + ((a - b) / 2)^2 = c^2
h^2 + 1/4 a^2 = c^2
h^2 = c^2 - 1/4 a^2
h = √(c^2 - 1/4 * a^2)

Так как известна площадь трапеции:

S = (a + b) h / 2
8 = 2a √(c^2 - 1/4 a^2) / 2
4 = a √(c^2 - 1/4 a^2)
16 = a^2 (c^2 - 1/4 a^2)
16 = a^2 (4h^2)
16 = 4a^2 * h^2

Так как a = b и h = 4:

16 = 4a^2 * 16
1 = a^2
a = 1

Теперь найдем диагональ трапеции:

d^2 = a^2 + b^2 + 2 c^2
d^2 = 1 + 1 + 2 c^2
d^2 = 2 + 2c^2
d = √(2 + 2c^2)

Теперь найдем тангенс угла между диагональю и одним из оснований:

tg(α) = h / (1/2 d)
tg(α) = 4 / (1/2 √(2 + 2c^2))
tg(α) = 8 / √(2 + 2c^2)

Подставляем известные значения:

tg(α) = 8 / √(2 + 2 * 1^2)
tg(α) = 8 / √(4)
tg(α) = 8 / 2
tg(α) = 4

Ответ: тангенс угла между диагональю и одним из оснований равен 4.