Обозначим радиус конуса как R. Так как угол при вершине осевого сечения равен 90 градусов, то высота конуса равна его радиусу R.

Также из условия известно, что радиус вписанного шара равен 3√2 - 3, что равно R - R√2.

Запишем формулу объема конуса: V = (1/3)πR^2h. Также из подобия треугольников можно найти отношение R и h: R/h = R/(R√2) = 1/√2. Значит, h = R/√2.

Подставляем найденное значение h: V = (1/3)πR^2(R/√2) = (1/3)πR^3/√2.

Теперь найдем радиус конуса R. Известно, что R - R√2 = 3√2 - 3. Значит, R(1 - √2) = 3√2 - 3, R = (3√2 - 3)/(1 - √2) = (3√2 - 3)(√2 + 1) = 3(2) - 3 + 3√2 - 3√2 = 3. Таким образом, радиус конуса равен 3.

Подставляем найденное значение радиуса в формулу для объема: V = (1/3)π(3)^3/√2 = 9π/√2 = 9√2π/2.

Ответ: 9π.