Для решения данной задачи воспользуемся теоремами синусов и косинусов.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b (где a - катет, лежащий напротив угла 30 градусов).

Так как гипотенуза треугольника равна 18 см, то мы можем выразить каждый катет через гипотенузу и синус угла 30 градусов:

a = 18 sin(30°)
b = 18 cos(30°)

Теперь найдем периметр треугольника, который равен сумме всех его сторон:

a + b + 18 = 102

Подставляем выражения для a и b:

18 sin(30°) + 18 cos(30°) + 18 = 102
18 * (sin(30°) + cos(30°) + 1) = 102
sin(30°) + cos(30°) + 1 = 102 / 18
sin(30°) + cos(30°) + 1 = 5.66667

Теперь найдем синус и косинус угла 30 градусов:

sin(30°) = 1/2
cos(30°) = √3/2

Подставим в выражение:

1/2 + √3/2 + 1 = 5.66667
√3/2 = 4.16667
√3 = 2 * 4.16667
√3 = 8.33333

Катеты треугольника равны:

a = 18 sin(30°) = 18 1/2 = 9 см
b = 18 cos(30°) = 18 √3/2 = 9√3 см

Итак, катеты равны 9 см и 9√3 ≈ 15.59 см.