Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды можно воспользоваться формулой:
V = (1/3) S h,
где S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Для начала найдем площадь основания S. Поскольку пирамида правильная, можно разбить ее на четыре равносторонних треугольника. Таким образом, два таких треугольника дают нам равносторонний угол 60 градусов. Отсюда, угол при основании будет 30 градусов.

Теперь находим высоту пирамиды h. Для этого рассмотрим боковую грань пирамиды, принимая апофему за гипотенузу, сторону основания за катет и высоту за противолежащий катет. Тогда мы можем записать:
sin(30) = h / 12,
h = 12 * sin(30) = 6 см.

Теперь можем найти площадь основания:
S = (1/2) 12 6 = 36 см^2.

И, наконец, вычислим объем пирамиды:
V = (1/3) 36 6 = 72 см^3.

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды равен 72 кубическим сантиметрам.