Для начала найдем длины сторон ромба. Поскольку перпендикуляр делит одну из сторон ромба на две равные части, то каждая из этих частей равняется 7 см. Следовательно, длина стороны ромба равна 14 см.

Теперь найдем половину длины меньшей диагонали ромба. Пусть x - длина половины меньшей диагонали. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами 7 и х и гипотенузой 12 имеем:
x^2 + 7^2 = 12^2
x^2 = 144 - 49
x^2 = 95
x = √95

Из теоремы синусов для треугольника с катетами 7 и √95 и гипотенузой 12 можем найти синус угла A между стороной и меньшей диагональю:
sin(A) = √95 / 12

Тангенс угла A равен отношению синуса косинуса:
tg(A) = sin(A) / cos(A)

Найдем косинус угла A:
cos(A) = √(1 - sin^2(A)) = √(1 - (95 / 144)^2)

И, наконец, подставляем все в формулу для тангенса угла A:
tg(A) = (√95 / 12) / (√(1 - (95 / 144)^2))