Пусть D - середина стороны BC. Так как отрезок MN параллелен BC и делит его в отношении 1:2, то BD = DC, исходя из этого равенства, рассмотрим треугольник BDM прямоугольным при вершине M, тогда по теореме Пифагора:

DM^2 + BD^2 = BM^2

По условию DM = DC = BC/2, а BM = BC + 6, подставляем в формулу:

(BC/2)^2 + BC^2 = (BC + 6)^2

BC^2/4 + BC^2 = BC^2 + 12BC + 36

BC^2 - 4BC - 36 = 0

(BC - 6)(BC + 6) = 0

Отсюда получаем два решения: BC = 6 или BC = -6. Так как длина стороны не может быть отрицательной, то BC = 6.