Для нахождения полной поверхности пирамиды мы можем разделить ее на две части - основание (круг) и боковую поверхность (треугольники).

Основание пирамиды - это круг с радиусом равным радиусу вписанного шара, то есть 2. Площадь круга можно найти по формуле S = π r^2, где r - радиус. Таким образом, площадь основания S1 = π 2^2 = 4π.

Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды воспользуемся формулой S2 = 0.5 П P * l, где П - периметр основания (для круга это длина окружности и равна 2πr), P - длина стороны пирамиды (можно найти через теорему Пифагора: P = sqrt(h^2 + r^2), где h - высота пирамиды), l - образующая пирамиды (можно найти через теорему Пифагора: l = sqrt(h^2 + r^2)).

Зная радиус вписанного шара и объем пирамиды, можно найти ее высоту h.
Объем пирамиды V = (S1 h) / 3 = 10.
4π h / 3 = 10,
h = 30 / 4π.

Теперь можно рассчитать длину стороны и длину образующей:
P = sqrt((30 / 4π)^2 + 2^2) = sqrt((900 / 16π^2) + 4) = sqrt((900 + 64π^2) / 16π^2) = sqrt((900 + 64(π^2)) / 16π^2) ≈ 1,473.
l = sqrt((30 / 4π)^2 + 2^2) ≈ sqrt(40) ≈ 6,325.

Теперь мы можем вычислить площадь боковой поверхности:
S2 = 0.5 π 1,473 * 6,325 ≈ 14,724.

Таким образом, полная поверхность пирамиды равна S = S1 + S2 ≈ 4π + 14,724 ≈ 14,724 + 12,566 ≈ 27,29.

Ответ: Полная поверхность пирамиды равна примерно 27,29.