1) Пусть точка пересечения касательной и хорды - точка А, точка центра окружности - O, а точка пересечения касательной и радиуса - точка B. Тогда треугольник OAB - прямоугольный, так как хорда равна 2радиусу окружности.
Угол между касательной и хордой равен углу AOB. Так как треугольник OAB прямоугольный, то tg(AOB) = OA / AB = r / r√3 = 1 / √3 = √3 / 3.
Итак, угол между касательной и хордой равен arctg(√3 / 3).

2) Пусть точка вне окружности - точка А, точки пересечения секущей и окружности - точки B и C, а точка пересечения кратчайшей линии до окружности и окружности - точка D. Треугольник ABD равнобедренный, так как кратчайшее расстояние от точки A до окружности равно радиусу окружности.
Отрезок BD также равен радиусу окружности, так как точка A лежит на касательной и кратчайшее расстояние от точки A до окружности равно радиусу.
Таким образом, треугольник CBD - прямоугольный. Пусть CD = x, BD = 13, BC = 7. Тогда BC^2 = BD * CD => 7^2 = 13x => x = 49 / 13.
Далее, можем применить теорему Пифагора для треугольника ABD: AB^2 = AD^2 + BD^2 => AB^2 = (AD + x)^2 + 13^2 => 6^2 = (AD + 49/13)^2 + 13^2.
Решая это уравнение, получим AD1 = 5/13, AD2 = 112/13.
Итак, расстояния от точек B и C до точки A равны 5/13 и 112/13 соответственно.

3) Так как окружность вписана в треугольник ABC, то точка касания прямой MK и вписанной окружности - центр окружности. Таким образом, отрезки AM, MK и KB - касательные к окружности.
Так как AM = BM, то треугольник MBK - равнобедренный. Обозначим AM = x, MK = y. Тогда BK = x.
Применим формулу для равнобедренного треугольника: x + y + y = 10 => 2y + x = 10.
Также, применим теорему Пифагора для треугольников AMK и ABK: 5^2 = x^2 + y^2, 7^2 = (10 - x)^2 + y^2.
Решив эти уравнения, получим x = 6, y = 2.
Итак, периметр треугольника MBK равен 6 + 2 + 6 = 14.