Так как [AA1] и [BB1] -высоты треугольника ABC, то по условию задачи, AC = 6 см, B1C = 4 см, A1C = 3 см.

Также известно, что высота, проведенная из вершины угла на сторону треугольника, делит эту сторону на отрезки, пропорциональные другим двум сторонам треугольника.

Из этого следует, что отношение отрезков, на которые высоты делят стороны, равно отношению других двух сторон треугольника, противолежащих этим сторонам. То есть:

AC/A1C = BC/CC1 и BC/B1C = AC/CC1

Из данных задачи:

AC/A1C = 6/3 = 2 и BC/B1C = x/4, где x - искомая длина стороны BC.

Таким образом:

AC/A1C = BC/B1C

2 = x/4

x = 2 * 4 = 8

Итак, длина стороны BC равна 8 см.