Для нахождения площади прямоугольного треугольника по катетам можно воспользоваться формулой: ( S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b ), где ( a ) и ( b ) - длины катетов.

Из условия задачи мы знаем, что один из катетов равен 7, а прилежащий к нему острый угол равен 45 градусов. Тогда второй катет можно найти по формуле синуса: ( b = a \cdot \sin{\alpha} = 7 \cdot \sin{45^\circ} = 7 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{7\sqrt{2}}{2} ).

Теперь подставляем найденные значения в формулу для площади треугольника: ( S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot \frac{7\sqrt{2}}{2} = \frac{49\sqrt{2}}{4} ).

Ответ: ( S = \frac{49\sqrt{2}}{4} ).