В треугольнике ABC на сторонах AB и AC взяты соответственно точки M и N так, что AM:BM=1:2, AN:CN=2:3.Прямые BN и CM пересекаются в точке P. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника MNP равна 6, а площадь треугольника BCP равна 15.
В треугольнике ABC на сторонах AB и AC взяты соответственно точки M и N так, что AM:BM=1:2, AN:CN=2:3.Прямые BN и CM пересекаются в точке P. Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что площадь треугольника MNP равна 6, а площадь треугольника BCP равна 15.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обозначим площади треугольников ABC, AMB и ANC через S, S1 и S2 соответственно.
Из условия AM:BM=1:2 и AN:CN=2:3 следует, что S1/S=S2/S=1/3. Также из условия S1=6 и S=15 следует, что S2=18.
Из теоремы Менелая получаем, что (AM/AB)(BP/PC)(CN/NA)=1. Подставляя AM/AB=1/3 и CN/NA=3/5, получаем BP/PC=5/3.
Площадь треугольника ABC можно представить сначала как сумму площадей треугольников AMB, ANC и MNP: S=S1+S2+6=6+18+6=30, а затем как площадь треугольника BCP, умноженную на BP/PC (по теореме о площади треугольника и соотношениях сторон в нем): S=15*(5/3)=25.
Итак, S=30.