Площадь четырехугольника можно найти, разбив его на два прямоугольных треугольника с помощью диагоналей. Так как диагонали взаимно перпендикулярны, каждый из этих треугольников будет прямоугольным.

Пусть одна диагональ равна 12, а другая 8. Тогда площадь первого треугольника будет равна (1/2)128 = 48, а площадь второго треугольника также будет равна 48.

Суммируем площади двух треугольников: 48 + 48 = 96

Поэтому, площадь четырехугольника равна 96.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны a и b, где a < b. Тогда по теореме Пифагора имеем:
a^2 + b^2 = 15^2
a^2 + b^2 = 225

Также из условия задачи известно, что длины проекций катетов на гипотенузу равны 12 и 15. Это означает, что сумма квадратов проекций равна квадрату гипотенузы:
12^2 + 15^2 = c^2
144 + 225 = c^2
369 = c^2

Отсюда находим, что длина гипотенузы треугольника c = √369 = √(a^2 + b^2)

Таким образом, мы имеем уравнение (a^2 + b^2) = 369 и a < b.

Так как a < b, то a < 15 и b > 15. Из условия 15^2 + a^2 = 225 => a = 225 - 225 =0

Таким образом, длина меньшего катета треугольника равна 0.