Пусть основание равнобедренного треугольника равно а, тогда высота h, проведенная к этому основанию, будет также являться медианой и биссектрисой данного треугольника. Также из условия известно, что высота, проведенная к боковой стороне, равна 12 см.

Запишем формулы для площади треугольника через основание и высоту:
S = 0.5 a h

Также, по условию, высота h проведенная к основанию равна 10 см:
S = 0.5 a 10

А также по теореме Пифагора, получим:
a^2 = (a/2)^2 + 12^2
a^2 = a^2 / 4 + 144
4a^2 = a^2 + 576
3a^2 = 576
a^2 = 576 / 3
a^2 = 192

Основание равнобедренного треугольника равно:
a = √192 ≈ 13.86

Таким образом, длина основания равнобедренного треугольника равна приблизительно 13.86 см.