Для нахождения угла между диагоналями призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани, нужно воспользоваться свойствами параллелограмма.

Пусть дана четырехугольная призма ABCDA'B'C'D', где BC и A'D' - основания, а AC и BD - диагонали основания.

Рассмотрим треугольник ACD. Так как BC || A'D' и AC - диагональ призмы, то угол между диагональю и стороной параллелограмма равен углу между диагональю и диагональю другой боковой грани. Обозначим это угол как α.

Также в треугольнике ACD угол ADC равен углу A'D'C' по свойству призмы.

Итак, получаем, что угол между диагоналями призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани равен углу ADC + углу A'D'C' = α + α = 2α.

Таким образом, угол между диагоналями призмы и скрещивающейся с ней диагональю боковой грани равен 2α.