Для начала найдем длину ребра куба:

По теореме Пифагора для боковой грани куба:
(ребро)^2 + (ребро)^2 = (диагональ)^2
2(ребро)^2 = (3√3)^2
2(ребро)^2 = 27
(ребро)^2 = 27/2
ребро = √(27/2) = √27/√2 = 3√3/√2 = 3√(3/2) = 3√(1.5) = 3√1.5

Теперь найдем объем куба:
V = (длина ребра)^3 = (3√1.5)^3 = 3^3 (√1.5)^3 = 27 1.5√1.5 = 40.5√1.5

Итак, объем куба равен 40.5√1.5.