Для начала найдем длину гипотенузы треугольника. По теореме Пифагора:

AB^2 = AC^2 + BC^2
AB^2 = 12^2 + 5^2
AB^2 = 144 + 25
AB^2 = 169
AB = 13

Теперь построим прямую, проходящую через вершины гипотенузы и касающуюся стороны ВС. Так как прямая, проведенная из центра окружности к точке касания касается ее перпендикулярно, то она делит гипотенузу пополам.

Таким образом, радиус окружности О равен половине длины гипотенузы:

Радиус О = AB / 2 = 13 / 2 = 6.5

Ответ: Радиус окружности, проходящей через концы гипотенузы треугольника АВС и касающейся ВС, равен 6.5.