Дано: угол C = 120 градусов, косинус внешнего угла при вершине A = -6√61/61, AC = 18.

Так как внешний угол при вершине A равен сумме углов B и C, то угол B равен 180 - 120 = 60 градусов.

По теореме косинусов в треугольнике ABC:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 AB BC * cos$60$

Подставляем известные значения и получаем:
18^2 = AB^2 + BC^2 + 18 * BC

324 = AB^2 + BC^2 + 18 * BC -----$1$

Также, по формуле косинуса внешнего угла в треугольнике:
cos$120$ = cos$B$ = AB / BC
-1/2 = AB / BC
AB = -BC / 2 -----$2$

Из уравнения $2$ подставляем AB в $1$ и получаем:
324 = $-BC/2$^2 + BC^2 + 18 BC
324 = BC^2 / 4 + BC^2 + 18 BC
324 = 5 BC^2 / 4 + 18 BC

Переносим все в одну часть уравнения:
5 BC^2 + 72 BC - 1296 = 0

Далее решаем это квадратное уравнение для нахождения BC:
BC = $$-72+/-\surd (72^2-4<em>5</em>(-1296))$$ / 10
BC = $$-72+/-\surd (5184+25920)$$ / 10
BC = $$-72+/-\surd 31104$$ / 10
BC = $$-72+/-176.4$$ / 10

Так как длина стороны не может быть отрицательной, то BC = $176.4-72$ / 10 = 10.44

Поэтому, длина ВС равна 10.44.