Для того чтобы найти радиус описанной около треугольника окружности, можно воспользоваться формулой для радиуса описанной окружности:

[R = \frac{abc}{4S},]

где a, b, c - стороны треугольника, а S - площадь треугольника.

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

[S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},]

где p - полупериметр треугольника, который равен (p = \frac{a+b+c}{2}.)

Подставляя значения сторон треугольника ABC, получаем:

(p = \frac{5+6+7}{2} = 9.)

(S = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = 12.)

И наконец, подставляем S в формулу для радиуса описанной около треугольника окружности:

(R = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{4 \cdot 12} = \frac{210}{48} = \frac{35}{8}.)

Итак, радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен (\frac{35}{8}).

Для того чтобы найти радиус вписанной в треугольник окружности, можно воспользоваться формулой для радиуса вписанной окружности:

[r = \frac{S}{p},]

где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.

Площадь треугольника также можно найти по формуле Герона и полупериметр уже был вычислен в предыдущем ответе.

(S = \sqrt{9(9-3)(9-5)(9-6)} = \sqrt{9 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 3} = 6 \cdot 2 \cdot \sqrt{6} = 12\sqrt{6}.)

Теперь вычисляем радиус вписанной в треугольник окружности:

(r = \frac{12\sqrt{6}}{9} = \frac{4\sqrt{6}}{3}.)

Итак, радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен (\frac{4\sqrt{6}}{3}).