Обозначим высоту пирамиды через h. Так как все боковые грани наклонены к основанию под углом 45°, то высота пирамиды является высотой боковой грани, а катетом прямоугольного треугольника, лежащего в основании, является половина одного из рёбер основания.

Таким образом, мы имеем прямоугольный треугольник со сторонами 5 и h/2, по теореме Пифагора у которого гипотенуза равна h:

(5)^2 + (h/2)^2 = h^2
25 + h^2/4 = h^2
25 = 3h^2/4
h^2 = 100/3
h = 10/√3

Теперь можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) S h,

где S - площадь основания пирамиды, S = 12 * 5 / 2 = 30.

V = (1/3) 30 10/√3 = 100/√3.

Таким образом, объем пирамиды равен 100/√3 кубических единиц.