Для начала найдем длину отрезка BC.
Так как CD - высота, то прямоугольный треугольник BCD - подобен треугольнику ABC.
Таким образом, мы можем воспользоваться пропорциональностью сторон подобных треугольников:

BC/AC = BD/CD
BC/AC = 5/10
BC/AC = 1/2

Так как AC = AB, то BC = AB/2, но так как треугольник прямоугольный, то AB = √(AC^2 + BC^2).
Подставляем BC = AB/2:
BC = √((2BC)^2 + BC^2)
BC = √(4BC^2 + BC^2)
BC = √5BC^2

Теперь решаем уравнение:
BC^2 = 100/5 = 20
BC = √20 = 4√5 см

Теперь найдем cosA
cosA = AB/AC = BC/AC = 4√5 / AC

Используем правило Пифагора для AC:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = 10^2 + 5^2
AC^2 = 100 + 25
AC^2 = 125
AC = √125 = 5√5 см

Теперь подставляем AC и BC:
cosA = 4√5 / 5√5
cosA = 4/5

Ответ: BC = 4√5 см, cosA = 4/5.