Для начала обратим внимание на то, что медиана CK делит треугольник на два треугольника равной площади. Это значит, что площадь треугольника CKB равна половине площади треугольника ABC.

Так как медиана CK делит сторону AB в отношении 2:1, то BP также делит сторону AB в отношении 2:1. Это значит, что площадь треугольника BPC равна 1/3 площади треугольника ABC.

Площадь треугольника BPC можно найти, используя формулу площади треугольника через стороны: S = 1/2 BP PC * sin(∠BPC).

Так как BC = 4 см и BP = 3 см, то PC = 4 - 3 = 1 см.

Теперь находим sin(∠BPC). Для этого посмотрим на треугольник BPC, в котором известны стороны BP = 3 см, PC = 1 см и BC = 4 см. Мы можем использовать формулу косинусов: BC^2 = BP^2 + PC^2 - 2 BP PC * cos(∠BPC).

Подставляем известные значения: 4^2 = 3^2 + 1^2 - 2 3 1 * cos(∠BPC).

Получаем: 16 = 9 + 1 - 6 * cos(∠BPC).

Отсюда cos(∠BPC) = 1/6.

Тогда sin(∠BPC) = sqrt(1 - cos^2(∠BPC)) = sqrt(1 - 1/36) = sqrt(35/36) = sqrt(35) / 6.

Таким образом, площадь треугольника BPC равна S = 1/2 3 1 * (sqrt(35) / 6) = sqrt(35) / 4 кв см.

Площадь треугольника ABC равна удвоенной площади треугольника CKB (так как медиана CK делит треугольник на две равные части) плюс площадь треугольника BPC: S(ABC) = 2 S(CKB) + S(BPC) = 2 (1/2 * S(ABC)) + (sqrt(35) / 4) = S(ABC) + sqrt(35) / 4.

Получаем уравнение: S(ABC) = S(ABC) + sqrt(35) / 4.

Отсюда sqrt(35) / 4 = 0, следовательно, площадь треугольника ABC равна 0 кв см.