Пусть a - длина стороны основания четырехугольной призмы, а h - её высота.

Так как диагональ равна корень из 8 и угол между диагональю и стороной призмы равен 45 градусов, то можем составить прямоугольный треугольник со сторонами a, h и боковым ребром b.

Так как боковое ребро - это гипотенуза прямоугольного треугольника, то можем записать теорему Пифагора:

a^2 + h^2 = 8

Так как угол между одной из сторон основания и диагональю равен 45 градусов, то можем составить другое уравнение:

cos(45) = a / b
1 / корень из 2 = a / b
b = a * корень из 2

Так как h = b * sin(45) = b / корень из 2, то:

a^2 + (b / корень из 2)^2 = 8
a^2 + b^2 / 2 = 8
a^2 + 2a^2 = 8
3a^2 = 8
a^2 = 8 / 3
a = корень из (8 / 3)

Подставляем в формулу для b:

b = a корень из 2 = корень из (8 / 3) корень из 2 = корень из (16 / 3) = 4 / корень из 3 = 4 * корень из 3 / 3

Итак, боковое ребро призмы равно 4 * корень из 3 / 3.