1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на медиане BD отмечена точка К , а на сторонах АВ и ВС – точки М и N соответственно. Известно, что угол BKM = углу BKN, угол BMK = 110 градусов. а) Найдите угол BNK . б) Докажите, что прямые MN и BK взаимно перпендикулярны. 2. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника ABC отмечены точки D, E, и F соответственно. Известно, что угол ABC = 61 градус, угол CEF = 60 градусов, угол ADF = 61 градус. а) Найдите угол DFE. б) Докажите, что прямые АВ и EF пересекаются. 3. В прямоугольном треугольнике АВС катет АВ равен 3 см, угол С равен 15 градусов. На катете АС отмечена точка D так, что угол CBD = 15 градусов. а) Найдите длину отрезка BD. б) Докажите, что ВС < 12 см.
1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC на медиане BD отмечена точка К , а на сторонах АВ и ВС – точки М и N соответственно. Известно, что угол BKM = углу BKN, угол BMK = 110 градусов. а) Найдите угол BNK . б) Докажите, что прямые MN и BK взаимно перпендикулярны. 2. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника ABC отмечены точки D, E, и F соответственно. Известно, что угол ABC = 61 градус, угол CEF = 60 градусов, угол ADF = 61 градус. а) Найдите угол DFE. б) Докажите, что прямые АВ и EF пересекаются. 3. В прямоугольном треугольнике АВС катет АВ равен 3 см, угол С равен 15 градусов. На катете АС отмечена точка D так, что угол CBD = 15 градусов. а) Найдите длину отрезка BD. б) Докажите, что ВС < 12 см.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
a) Угол BNK = 180 - угол BKM - угол BMK = 180 - угол BKM - 110 = 70 градусов.
b) Докажем, что угол между MN и BK равен 90 градусов.
Из условия угол BKM = углу BKN, следовательно, треугольники BMK и BNK подобны.
Из подобия треугольников, угол MBK = угол NKB, а также угол BMK + угол BNK = 180 градусов.
Таким образом, угол между MN и BK равен углу NBK - углу MBK = 90 градусов.
a) Угол DFE = 180 - угол ADF - угол CEF = 180 - 61 - 60 = 59 градусов.
b) Пусть прямые AB и EF не пересекаются, тогда треугольники ABC и CEF подобны по двум углам (углы CAB и CFE равны, углы ABC и ECF равны).
Из подобия треугольников, отношение сторон AC и CE равно отношению сторон AB и CF.
Следовательно, AB/CF = AC/CE, что невозможно, так как угол ABC = 61 градус, а угол CEF = 60 градус, и стороны BC и EF должны принадлежать одному треугольнику.
Следовательно, прямые AB и EF пересекаются.
a) Так как угол С равен 15 градусов, то угол А равен 75 градусов.
Из угловой суммы треугольника CBD найдем, что угол DCB = 75 градусов.
Так как углы BDC и DBC равны, треугольник BCD равнобедренный, и BD = CD.
Из прямоугольного треугольника BCD по теореме синусов найдем, что BD = 3 sin(45) = 3 √2 / 2 = 3√2 / 2 см.
b) Из треугольника ABC по теореме синусов найдем, что BC = AC sin(15) / sin(75) = 3 sin(15) / sin(75) ≈ 3 * 0.259 / 0.966 ≈ 0.806 см.
Таким образом, ВС < 12 см.