Для начала найдем высоту треугольника, образованного диагональю призмы и радиусом вписанной окружности. Этот треугольник является прямоугольным, так как диагональ призмы перпендикулярна основанию и радиус окружности.

Пусть меньшая диагональ призмы равна d, тогда высота треугольника h = 2. Радиус окружности равен r = √3.

По теореме Пифагора для этого треугольника: d^2 = (2 + 2√3)^2 + (√3)^2 = 4(1 + 2√3 + 3) + 3 = 19 + 8√3

Поэтому меньшая диагональ призмы равна √(19 + 8√3).