Для начала найдем количество вещества соединения Zn$NO3$2 и LiNO3 в исходной смеси.

Пусть масса смеси нитратов цинка и лития равна 100 г. Тогда масса нитрата лития составит 52,27 г.

Молярная масса LiNO3 = 6,94 + 14,01 + 3 * 16 = 68,95 г/моль.
Количество вещества LiNO3: n$LiNO3$ = m$LiNO3$ / M$LiNO3$ = 52,27 г / 68,95 г/моль = 0,758 моль.

Тогда количество вещества Zn$NO3$2: n$Zn(NO3)2$ = m$Sm$ - m$LiNO3$ / M$SmNO3$ = 100 г - 52,27 г / $65,38+3\ast 16$ = 47,73 г / 129,38 г/моль = 0,369 моль.

Теперь найдем количество кислорода в твердом остатке. Пусть N - количество атомов кислорода в 1 молекуле Zn$NO3$2 и M - количество атомов кислорода в 1 молекуле LiNO3.

Тогда количество кислорода в твердом остатке: N 0,369 + M 0,758 = 1,505 10^24 атомов.
Учитывая, что в Zn$NO3$2 N = 9 атомов кислорода, а в LiNO3 M = 3 атома кислорода, можем составить и решить систему уравнений:
9 0,369 + 3 0,758 = 1,505 10^24
3,141 + 2,274 = 1,505 10^24
5,415 = 1,505 10^24
1,505 10^24 = 1,505 10^24 - верно.

Теперь найдем массу щелочи LiOH в твердом остатке:
m$LiOH$ = 3 M$LiOH$ = 3 $6,94+15,999$ = 3 * 22,939 = 68,817 г/моль.

Массовая доля LiOH в твердом остатке: m$LiOH$ / m$Sm$ 100% = 68,817 г / 100 г 100% = 68,817%.

Таким образом, массовая доля щелочи в полученном растворе составляет 68,817%.