Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой $y=8x-x^2$ и осью $Ox$, необходимо выполнить следующие шаги:

Найти корни уравнения: Для начала найдем точки пересечения кривой с осью $Ox$. Это происходит, когда $y=0$:

$$8x-x^2=0$$

Факторизуем уравнение:

$$x(8-x)=0$$

Таким образом, корни уравнения:

$$x=0\text{и}x=8$$

Эти точки соответствуют значениям $x$, при которых кривая пересекает ось абсцисс.

Определить площадь: Площадь фигуры, ограниченной кривой и осью $Ox$, можно вычислить с помощью определенного интеграла:

$$S={\int }_a^{b}f(x)dx$$

где $f(x)=8x-x^2$, $a=0$, $b=8$.

Теперь подставим функцию в интеграл:

$$S={\int }_0^8(8x-x^2)dx$$

Вычислить интеграл:

Для этого найдем первообразную функции $8x-x^2$:

$$\int (8x-x^2)dx=4x^2-\frac{x^3}{3}+C$$

Теперь подставим пределы интегрирования:

$$S={\left[4x^2-\frac{x^3}{3}\right]}_0^8$$

Подставляем верхний предел:

$$=4(8^2)-\frac{8^3}{3}=4(64)-\frac{512}{3}=256-\frac{512}{3}$$

Переведем $256$ в третьи доли:

$$256=\frac{768}{3}$$

Таким образом:

$$S=\frac{768}{3}-\frac{512}{3}=\frac{768-512}{3}=\frac{256}{3}$$

Ответ:

Площадь фигуры, ограниченной кривой $y=8x-x^2$ и осью $Ox$, равна:

$$S=\frac{256}{3}$$