Рассмотрим формулу:

$$ДЕЛ(A,11)\wedge (ДЕЛ(870,x)\to (\neg ДЕЛ(A,x)\to \neg ДЕЛ(1980,x)))$$

Мы хотим, чтобы эта формула была истинной $тоестьравной1$ для любого натурального $x$.

Шаг 1: Разбор выражения

Формула состоит из двух частей:

$ДЕЛ(A,11)$ - это утверждение, что $A$ делится на 11.$ДЕЛ(870,x)\to (\neg ДЕЛ(A,x)\to \neg ДЕЛ(1980,x))$ - это условное утверждение, которое мы разберем подробнее.Условное утверждение

Условие $ДЕЛ(870,x)$ истинно, если $x$ делит 870. Разобьем 870 на множители:

$$870=2\times 3\times 5\times 29$$

Таким образом, $x$ может быть любым делителем 870.

Теперь рассмотрим часть $\neg ДЕЛ(A,x)\to \neg ДЕЛ(1980,x)$.

Это утверждение будет истинно, если:

$ДЕЛ(A,x)$ ложно $тоесть(A)неделитсяна(x)$, или$ДЕЛ(1980,x)$ ложно $тоесть1980неделитсяна(x)$.Шаг 2: Анализ делимости 1980

Рассмотрим 1980:

$$1980=2^2\times 3^2\times 5\times 11$$

Шаг 3: Условия для $A$Если $A$ не делится на 11, то $ДЕЛ(A,11)$ ложно, и все условие будет зависеть только от делимости 870 и от $A$ на $x$.Если $A$ делится на 11, то нужно, чтобы $\neg ДЕЛ(A,x)\to \neg ДЕЛ(1980,x)$ было истинным.

Теперь:

Поскольку 1980 делится на 2, 3, 5, и 11, если $x$ является делителем 870, рано или поздно найдется такое $x$, для которого будет $ДЕЛ(A,x)$ ложным и $ДЕЛ(1980,x)$ истинным, если $A$ не содержит 11 как делитель. Это значит, что $A$ должен содержать в числе делитель, который не совпадает с теми, которые есть у 1980.Варианты для $A$

Чтобы формула была истинной при любом $x$, $A$ должно делиться на 11, т.е. $A=11k$, где $k$ — положительное целое число.

Отрезок $$1;1000$$ включает значения 11, 22, ..., 990. Находим максимальное целое $k$:

$$11k\le 1000⟹k\le \frac{1000}{11}\approx 90.90$$

Следовательно, $k$ может принимать значения от 1 до 90, это 90 значений.

Ответ

Итак, существует 90 натуральных значений $A$ на отрезке $$1;1000$$, при которых данная формула истинна для любого натурального $x$.