а) Если плоскость раскрашена в 2 цвета, то найдется квадрат со стороной, параллельной осям координат, вершины которого одного цвета.

б) Рассмотрим случай, когда плоскость раскрашена в 3 цвета. Разделим плоскость на квадраты со стороной 1, причем каждый квадрат будет покрашен в один из цветов.

Так как у нас 3 цвета, то у нас будут квадраты, покрашенные в одинаковый цвет. Возьмем два квадрата одного цвета и рассмотрим их верхние левые углы. Если эти вершины совпадают, то мы получили квадрат. Если же вершины не совпадают, то рассмотрим прямоугольник со сторонами, соединяющими данные вершины - он будет иметь вершины одного цвета.

Таким образом, мы доказали, что найдется прямоугольник с вершинами одного цвета в любом случае.