Для начала найдем площадь треугольника ABC, используя формулу для площади треугольника через сторону и высоту:

S_ABC = 0.5 AB CM
S_ABC = 0.5 4 15
S_ABC = 30 см²

Затем найдем длину медианы AN, которая делит сторону BC пополам:

BN = \frac{1}{2} AB
BN = \frac{1}{2} 4
BN = 2 см

По теореме о медиане треугольника, медиана равна половине основания:

AN = \frac{\sqrt{2 AB^2 + 2 AC^2 - BC^2}}{2}
AN = \frac{\sqrt{2 4^2 + 2 AC^2 - 4^2}}{2}
AN = \frac{\sqrt{32 + 2 AC^2 - 16}}{2}
AN = \frac{\sqrt{16 + 2 AC^2}}{2}
AN = \frac{\sqrt{2 * (8 + AC^2)}}{2}
AN = \frac{\sqrt{8 + AC^2}}{\sqrt{2}}
AN = \frac{\sqrt{8 + AC^2}}{\sqrt{2}}

Также зная, что медиана делит треугольник на два треугольника с равной площадью, можем записать:

S_ANC = S_BNC
0.5 AN CM = 0.5 BN CM
AN 15 = 2 15
AN = 2 см

Подставим это значение в уравнение для медианы:

2 = \frac{\sqrt{8 + AC^2}}{\sqrt{2}}
2\sqrt{2} = \sqrt{8 + AC^2}
4 * 2 = 8 + AC^2
16 = 8 + AC^2
8 = AC^2
AC = \sqrt{8}
AC = 2\sqrt{2}

Теперь можем найти площадь треугольника ACN:

S_ACN = 0.5 AC AN
S_ACN = 0.5 2\sqrt{2} 2
S_ACN = 2\sqrt{2} см²

Итак, площадь треугольника ACN равна 2\sqrt{2} см².