Дано: угол между апофемой и высотой - 45 градусов, сторона основания - 12 см.

Так как у нас правильная четырехугольная пирамида, то основание является квадратом. Пусть сторона квадрата равна a.

Также нам известно, что апофема перпендикулярна основанию, следовательно, мы можем разбить апофему на две равные части.

Рассмотрим треугольник, образованный половиной апофемы, стороной основания и высотой пирамиды. Этот треугольник является прямоугольным, потому что угол между апофемой и высотой равен 45 градусам.

Теперь мы можем использовать тригонометрические функции для нахождения половины апофемы:

tg$45$ = 0.5a / h,
так как tg$45$ = 1, то 0.5a = h,
а = 2h.

Так как высота пирамиды равняется половине апофемы, h = 0.5a.

Для круглого треугольника с гипотенузой, равной 0,5а, катетами равными сторонами квадрата, применим теорему Пифагора:
$0.5a$^2 = a^2 + a^2
0.25a^2 = 2a^2
a^2 = 4

a = 2√2.

Теперь можем найти объем пирамиды:
V = $1/3$ S_osn h,
где S_osn - площадь основания, h - высота пирамиды.

S_osn = a^2 = $2\surd 2$^2 = 8.

V = $1/3$ 8 h = 8h / 3.

h = a / 2 = 2√2 / 2 = √2.

V = 8 √2 / 3 = $8</em>\surd 2$ / 3.

Ответ: объем правильной четырехугольной пирамиды равен $8\ast \surd 2$ / 3 кубических сантиметра.