Для решения данной задачи воспользуемся формулой для объема четырехугольной пирамиды:

V = (1/3) S h,

где V - объем пирамиды, S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Так как апофема правильной четырехугольной пирамиды наклонена плоскости основания под углом 45°, то длина апофемы будет равна половине длины диагонали основания. Пусть длина диагонали основания равна D, тогда длина апофемы равна D/2.

Площадь основания четырехугольной пирамиды можно найти как площадь квадрата со стороной D:

S = D^2.

Так как площадь квадрата равна квадрату длины его стороны, то:

S = (D/2)^2 = D^2 / 4.

Из условия задачи известна высота пирамиды h = 6 см.

Подставим все известные значения в формулу для объема пирамиды:

V = (1/3) (D^2 / 4) 6 = D^2 / (4 3) 6 = D^2 / 12.

Таким образом, объем пирамиды равен D^2 / 12.

Для нахождения объема пирамиды необходимо найти длину диагонали основания D. Для этого воспользуемся тригонометрическими функциями. Так как плоскость апофемы наклонена под углом 45° к основанию, мы можем построить треугольник, в котором одним из углов будет прямой угол (90°), а другими углами будут 45° и 45°.

Пусть длина стороны квадрата (или длина его диагонали) равна D. Тогда соответствующий отрезок на апофеме равен D / √2. Теперь мы можем составить уравнение на основании теоремы Пифагора для вычисления длины стороны квадрата D:

D^2 = (D / √2)^2 + 6^2.

D^2 = D^2 / 2 + 36.

D^2 / 2 = 36.

D^2 = 72.

Таким образом, длина диагонали основания равна √72, или 6√2.

Подставляем найденное значение в формулу для объема пирамиды:

V = (6√2)^2 / 12 = 72 / 12 = 6.

Ответ: объем пирамиды равен 6 кубическим сантиметрам.