Для нахождения расстояния от вершины A до точки пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, нужно воспользоваться формулой для расстояния от точки до прямой.

Найдем площадь треугольника ABC по формуле Герона:
p = (AB + AC + BC) / 2 = (5√3 + 7√3 + 3√3) / 2 = 15√3 / 2 = 7.5√3
S = √[p(p - AB)(p - AC)(p - BC)] = √[7.5√3(7.5√3 - 5√3)(7.5√3 - 7√3)(7.5√3 - 3√3)] = √[7.5√3 2.5√3 0.5√3 * 4.5√3] = √337.5 = 5√15

Высоты треугольника делят его на три маленьких треугольника, площади которых равны между собой. Обозначим расстояние от вершины A до точки пересечения высот h.

S1 = S2 = S3 = S / 3 = 5√15 / 3 = (5/3)√15

Теперь нам нужно найти значения сторон этих маленьких треугольников.
Пусть h1, h2, h3 - высоты, опущенные из вершины A к противоположным сторонам соответственно.

S1 = 0.5 h1 BC
(5√15) / 3 = 0.5 h1 3√3
h1 = 5

Аналогично находим h2 = 7 и h3 = 4.

Теперь можем применить формулу для нахождения расстояния от точки до прямой:
h = 2S / BC = 2 5√15 / 3√3 = (2 5 / 3) √5 = 10 / 3 √5 = (10/3)√5

Ответ: Расстояние от вершины A до точки пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, равно (10/3)√5.