Задача из олимпиады. Как это решить? На экране компьютера изображены два числа 20 и 101. Каждую минуту вместо них на экране появляются другие два числа - их среднее арифметическое и среднее гармоническое. Найдите произведение чисел, которые появятся на экране спустя 2020 минут.
Задача из олимпиады. Как это решить? На экране компьютера изображены два числа 20 и 101. Каждую минуту вместо них на экране появляются другие два числа - их среднее арифметическое и среднее гармоническое. Найдите произведение чисел, которые появятся на экране спустя 2020 минут.
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для решения этой задачи можно использовать подход индукции.
Пусть после первой минуты на экране появятся числа A и B, тогда A = (20 + 101) / 2 = 60.5, B = 2 / (1/20 + 1/101) ≈ 33.7931.
Далее, рассмотрим, что происходит средним арифметическим и средним гармоническим чисел A и B при каждом шаге:
Среднее арифметическое: (A + B) / 2 = (2A * B) / (A + B)Среднее гармоническое: 2 / (1/A + 1/B) = (2A * B) / (A + B)Мы видим, что на каждом шаге новые числа будут равны A' = (2A B) / (A + B) и B' = (2A B) / (A + B), что подтверждает индуктивное предположение об этих числах.
Таким образом, после 2020 минут на экране появятся числа A' = (2A B) / (A + B) и B' = (2A B) / (A + B), где A = 60.5 и B ≈ 33.7931.
Найдем их произведение: (2 60.5 33.7931) / (60.5 + 33.7931) ≈ 45.8409.
Таким образом, числа, которые появятся на экране спустя 2020 минут, будут примерно равны 45.8409.