Обозначим корни уравнения x^2+ax+b=0 как x_1 и x_2, а корни уравнения x^2+bx+a=0 как x_3 и x_4.

Так как каждый из графиков пересекает ось Ox в двух различных точках, то уравнения x^2+ax+b=0 и x^2+bx+a=0 имеют два различных корня. Используя формулу дискриминанта, получаем:

a^2-4b > 0
b^2-4a > 0

Также, график функции y=$x^2+ax+b$$x^2+bx+a$ имеет с осью Ox ровно три общие точки, следовательно, у уравнения $x^2+ax+b$$x^2+bx+a$ есть три корня на оси Ox.

Разложим данное уравнение:

$x^2+ax+b$$x^2+bx+a$ = x^4+$a+b$x^3+$ab+a^2+ab$x^2+$a^{2}b+a{b}^2$x+ab
= x^4+$a+b$x^3+$2ab+a^2+b^2$x^2+$a+b$abx+ab

Для того, чтобы иметь три корня уравнения на оси Ox, коэффициент перед x^3 должен быть равен 0, то есть a+b=0 или a=-b.

Подставляем a=-b в неравенства выше:

b^2+4b > 0
4b^2-4b > 0

Эти два неравенства выполнены при b<-4/3, значит b принадлежит интервалу $-бесконечность,-4/3$. Так как a=-b, то a принадлежит интервалу $4/3,+бесконечность$.

Подставим a=-b в уравнение $x^2+ax+b$$x^2+bx+a$ и найдем сумму корней:

$x^2+ax+b$$x^2+bx+a$ = $x^2-ax+b$$x^2-ax+a$ = x^4-2ax^3+$a^2-b$x^2+abx-ba

Сумма корней составляет -$-2a$/1 = 2a, таким образом, минимальное значение суммы равно 2*$-4/3$ = -8/3.

Итак, наименьшее возможное значение суммы всех координат точек пересечения графика функции y=$x^2-ax+b$$x^2+bx+a$ с осью Ox равно -8/3.