Для начала запишем данный систему уравнений в матричной форме:

| 3 2 1 | | x | | 5 |
| 2 3 1 | * | y | = | 1 |
| 2 1 3 | | z | | 11 |

Теперь найдем обратную матрицу к матрице коэффициентов:

A = | 3 2 1 |
| 2 3 1 |
| 2 1 3 |

det(A) = 3(33 - 11) - 2(23 - 12) + 1(21 - 3*2) = 26

A^(-1) = (1/det(A)) * adj(A), где adj(A) - алгебраическое дополнение матрицы A, т.е. матрица из определителей дополнительных миноров

adj(A) = | (33-11) -2(21-13) (31-12) |
| -2(31-12) (33-22) -1(21-32) |
| (21-32) -2(23-12) (33-21) |

adj(A) = | 8 - 2 1 |
| -4 5 -4 |
| -4 -4 5 |

A^(-1) = (1/26) * | 8 - 2 1 |
| -4 5 -4 |
| -4 -4 5 |

A^(-1) = | 4/13 - 1/13 1/13 |
| -2/13 5/13 - 2/13 |
| -2/13 - 4/13 5/13 |

Теперь умножим обратную матрицу на столбец свободных членов:

| x | | 4/13 - 1/13 1/13 | | 5 |
| y | = | -2/13 5/13 - 2/13 | * | 1 |
| z | | -2/13 - 4/13 5/13 | | 11 |

| x | | 59/13 |
| y | = | -12/13 |
| z | | 60/13 |

Получаем решение системы уравнений: x = 59/13, y = -12/13, z = 60/13.