Давайте предположим, что такое число существует. Пусть оно состоит из n пятерок и записано как 555...55 (n пятерок).

Мы знаем, что число делится на 2005 если делится на 5 и на 401. Поскольку число состоит из пятерок, оно уже делится на 5. Остается проверить делится ли оно на 401.

Для этого воспользуемся критерием делимости на 401: число делится на 401 тогда и только тогда, когда разность суммы цифр на четных позициях и суммы цифр на нечетных позициях кратна 401.

Сумма цифр числа состоящего из n пятерок равна 5*n. Разность суммы цифр на четных и нечетных позициях равна 0.

Таким образом, для любого натурального числа n, состоящего из пятерок, число 555...55 (n пятерок) делится на 2005.

Следовательно, такое число существует.