Уравнение окружности с центром в точке A(0; 4) и проходящей через точку D(-6; -4; 1) имеет вид:

(x - 0)^2 + (y - 4)^2 = (x + 6)^2 + (y + 4)^2 = r^2

где r - радиус окружности.

Для нахождения радиуса r воспользуемся условием прохождения окружности через точку D:

(0 + 6)^2 + (4 + 4)^2 = r^2

6^2 + 8^2 = r^2

36 + 64 = r^2

100 = r^2

r = 10

Итак, уравнение окружности с центром в точке A(0; 4) и проходящей через точку D(-6; -4; 1) имеет вид:

(x - 0)^2 + (y - 4)^2 = 10^2

x^2 + y^2 - 8y + 16 = 100

x^2 + y^2 - 8y - 84 = 0