Для начала найдем производные функции f(x) = x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 1:

f'(x) = 4x^3 + 12x^2 + 8x
f''(x) = 12x^2 + 24x + 8

Теперь найдем точки экстремума, для этого приравняем первую производную к нулю и найдем значения x:

4x^3 + 12x^2 + 8x = 0
4x(x^2 + 3x + 2) = 0
4x(x + 1)(x + 2) = 0

Отсюда получаем значения x = 0, x = -1, x = -2.

Теперь найдем вторую производную в точках экстремума:

f''(0) = 8 > 0, значит в точке x = 0 функция имеет локальный минимум.
f''(-1) = -12 < 0, значит в точке x = -1 функция имеет локальный максимум.
f''(-2) = 8 > 0, значит в точке x = -2 функция имеет локальный минимум.

Теперь найдем точки перегиба, для этого приравняем вторую производную к нулю и найдем значения x:

12x^2 + 24x + 8 = 0
Здесь дискриминант равен 48, что больше нуля, значит уравнение имеет два вещественных корня.

D = 24^2 - 4128 = 576 - 384 = 192
x1 = (-24 + sqrt(192)) / 24 ≈ -1.27
x2 = (-24 - sqrt(192)) / 24 ≈ -1.73

Значит, на отрезках (-∞, x1), (x1, x2), (x2, +∞) функция имеет участки выпуклости вниз и точки перегиба в x1 и x2.

Таким образом, функция имеет следующие характеристики на промежутках:

возрастает на промежутках (-∞, -1), (-2, +∞)убывает на промежутке (-1, -2)имеет локальные максимумы в точках x = -1 и x = -2имеет локальный минимум в точке x = 0имеет точки перегиба в точках x1 ≈ -1.27 и x2 ≈ -1.73