Для раскрытия данного выражения воспользуемся формулой ( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 ).

Подставим данные из условия:
( a = \sqrt{18} + \sqrt{72} ) и ( b = \sqrt{12} ).

Тогда:
( (\sqrt{18} + \sqrt{72} - \sqrt{12})(\sqrt{18} + \sqrt{72} + \sqrt{12}) )
= ( (\sqrt{18} + \sqrt{72})^2 - (\sqrt{12})^2 )
= ( (18 + 2\sqrt{18} \sqrt{72} + 72) - 12 )
= ( 90 + 2\sqrt{18} \sqrt{72} - 12 )
= ( 78 + 2\sqrt{18} \sqrt{72} ).

Теперь найдем произведение корней:
( 2\sqrt{18} \sqrt{72} = 2\sqrt{18} \cdot 6 = 2 \cdot 3 \cdot 6 = 36 ).

Следовательно, ответ:
( 78 + 36 = \boxed{114} ).