Для решения задачи воспользуемся геометрическим определением синуса.

Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположего катета к гипотенузе.

Так как угол 45 градусов, он делит прямой угол пополам, а значит, в треугольнике у нас будут равные катеты. Пусть каждая сторона катета равна x.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с катетами x и гипотенузой AC имеем:

(x^2 + x^2 = AC^2))

(2x^2 = AC^2))

Так как (AC = 5\sqrt{2}), то:

(2x^2 = (5\sqrt{2})^2))

(2x^2 = 50)

(x^2 = 25)

(x = 5)

Таким образом, сторона катета равна 5, а значит, синус угла 45 градусов равен:

(\sin 45^{\circ} = \frac{AC}{5\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{5\sqrt{2}} = 1)

Ответ: (\sin 45^{\circ} = 1).