Обозначим первый член арифметической прогрессии через ( a ), а разность прогрессии через ( d ). Тогда первые три члена прогрессии будут равны ( a ), ( a + d ) и ( a + 2d ).
Учитывая, что их сумма равна 15, получаем уравнение:
[ a + (a + d) + (a + 2d) = 15 ]
[ 3a + 3d = 15 ]
[ a + d = 5 ]

Кроме того, условие задачи о геометрической прогрессии дает нам:
[ (a-1) \cdot (a + 1) = (a + d) ]
[ a^2 - 1 = a + d ]

Подставим ( a + d = 5 ) в это уравнение:
[ a^2 - 1 = 5 ]
[ a^2 = 6 ]
[ a = \sqrt{6} ]

Таким образом, первый член прогрессии равен ( \sqrt{6} ), а разность прогрессии равна 5 - ( \sqrt{6} ).

Сумма первых десяти членов прогрессии выражается формулой:
[ S{10} = \frac{10(2a + (n-1)d)}{2} ]
[ S{10} = 5(2\sqrt{6} + 9\sqrt{6} - 5) ]
[ S{10} = 5(11\sqrt{6} - 5) ]
[ S{10} = 55\sqrt{6} - 25 ]