Для исследования возрастания функции (y = \tan{x}) на промежутке (\left(\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{2}\right)) рассмотрим производную этой функции.

(y = \tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}})

(y' = \frac{(\cos{x})(\cos{x}) - (\sin{x})(-\sin{x})}{(\cos{x})^2} = \frac{\cos^2{x} + \sin^2{x}}{(\cos{x})^2} = \frac{1}{(\cos{x})^2})

На промежутке (\left(\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{2}\right)) неравенство (\cos{x} > 0) всегда выполняется. Следовательно, (y' > 0) для всех (x \in \left(\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{2}\right)).

Таким образом, функция (y = \tan{x}) является возрастающей на промежутке (\left(\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{2}\right)).